Дано положительное целое число N. Задача состоит в том, чтобы найти 12 + 22 + 32 + ….. + N2.
Примеры:
Input : N = 4
Output : 30
12 + 22 + 32 + 42
= 1 + 4 + 9 + 16
= 30
Input : N = 5
Output : 55
Способ 1: O(N)
Идея состоит в том, чтобы запустить цикл от 1 до n, и для каждого i, 1 <= i2 суммировать.
# Python3 Program to
# find sum of square
# of first n natural
# numbers
# Return the sum of
# square of first n
# natural numbers
def squaresum(n) :
# Iterate i from 1
# and n finding
# square of i and
# add to sum.
sm = 0
for i in range(1, n+1) :
sm = sm + (i * i)
return sm
# Driven Program
n = 4
print(squaresum(n))
# This code is contributed by Nikita Tiwari.*/
Выход:
30
Метод 2: O(1)
Доказательство:
Мы знаем,
(k + 1)3 = k3 + 3 * k2 + 3 * k + 1
Мы можем записать вышеуказанный идентификатор для k от 1 до n:
23 = 13 + 3 * 12 + 3 * 1 + 1 ......... (1)
33 = 23 + 3 * 22 + 3 * 2 + 1 ......... (2)
43 = 33 + 3 * 32 + 3 * 3 + 1 ......... (3)
53 = 43 + 3 * 42 + 3 * 4 + 1 ......... (4)
...
n3 = (n - 1)3 + 3 * (n - 1)2 + 3 * (n - 1) + 1 ......... (n - 1)
(n + 1)3 = n3 + 3 * n2 + 3 * n + 1 ......... (n)
Подставляя уравнения (N - 1) в уравнении Н
(П + 1)3 = (Н - 1)3 + 3 * (П - 1)2 + 3 * (П - 1) + 1 + 3 * н2 + 3 * П + 1
= (Н - 1)3 + 3 * (П2 + (п - 1)2) + 3 * ( n + (n - 1) ) + 1 + 1
Поставив все уравнения, получим
(П + 1)3 = 13 + 3 * Σ к2 + 3 * Σ к + Σ 1
н3 + 3 * н2 + 3 * П + 1 = 1 + 3 * Σ к2 + 3 * (п * (п + 1))/2 + п
н3 + 3 * н2 + 3 * н = 3 * K и Σ2 + 3 * (п * (п + 1))/2 + п
н3 + 3 * н2 + 2 * п - 3 * (п * (п + 1))/2 = 3 * Σ к.2
n * (n2 + 3 * n + 2) - 3 * (n * (n + 1))/2 = 3 * Σ k2
n * (n + 1) * (n + 2) - 3 * (n * (n + 1))/2 = 3 * Σ k2
n * (n + 1) * (n + 2 - 3/2) = 3 * Σ k2
n * (n + 1) * (2 * n + 1)/2 = 3 * Σ k2
n * (n + 1) * (2 * n + 1)/6 = Σ k2
# Python3 Program to
# find sum of square
# of first n natural
# numbers
# Return the sum of
# square of first n
# natural numbers
def squaresum(n) :
return (n * (n + 1) * (2 * n + 1)) // 6
# Driven Program
n = 4
print(squaresum(n))
#This code is contributed by Nikita Tiwari.
Выход:
30
Избегая раннего переполнения:
Для большого числа n значение (n * (n + 1) * (2 * n + 1)) будет переполнено. Мы можем до некоторой степени избежать переполнения, используя тот факт, что n*(n+1) должно быть кратно 2.
# Python Program to find sum of square of first
# n natural numbers. This program avoids
# overflow upto some extent for large value
# of n.y
def squaresum(n):
return (n * (n + 1) / 2) * (2 * n + 1) / 3
# main()
n = 4
print(squaresum(n));
# Code Contributed by Mohit Gupta_OMG <(0_o)>
Выход:
30