Блог

Тестирование «простого» примера типов идентификаторов, равенства мод, но доказательство транзитивности не будет проверять тип даже из шаблона. Больше, чем исправление, я хочу знать, почему?

Вот фрагмент минимальной проблемы

 data ModEq : (n:Nat) -> (x:Nat) -> (y:Nat) -> Type where
    {- 3 constructors
        reflexive:      x == x (mod n), 
        left-induct:    x == y (mod n) => (x n) == y    (mod n)
        right-induct:   x == y (mod n) => x == (y n)    (mod n)
    -}
  Reflex : (x:Nat) -> ModEq n x x  --- Needs syntatic sugar, for now prefix
  LInd : (ModEq n x y) -> ModEq n (x n) y
  RInd : (ModEq n x y) -> ModEq n x (y n)

{----- Proof of transitive property. -----}
total
isTrans : (ModEq n x y) -> (ModEq n y z) -> (ModEq n x z)
{- x=x amp; x=y => x=y -}
isTrans (Reflex x) v = v
isTrans u (Reflex y) = u
{- ((x=y=>(x n)=y) amp; y=z) => x=y amp; y=z => x=z (induct) => (x n)=z -}
isTrans (LInd u) v = LInd (isTrans u v)
isTrans u (RInd v) = RInd (isTrans u v)
{- (x=y=>x=(y n)) amp; (y=z=>(y n)=z) => x=y amp; y=z => x=z (induct) -}
isTrans (RInd u) (LInd v) = isTrans u v
 

Несоответствие типов находится в последней строке, хотя из строки комментария я действительно не могу сказать, почему логически это неправильно. Вот ошибка:

 48 | isTrans (RInd u) (LInd v) = isTrans u v
   | ~~~~~~~
When checking left hand side of isTrans:
When checking an application of Main.isTrans:
        Type mismatch between
                ModEq n (x   n) z (Type of LInd v)
        and
                ModEq n (y   n) z (Expected type)

        Specifically:
                Type mismatch between
                        plus x n
                and
                        plus y n
 

Я не только смущен тем, как LInd v был назначен (неправильный кажущийся) тип ModEq n (x n) z, но я указываю, что когда я просто пытаюсь использовать подход «тип-определение-уточнение» со встроенным шаблоном, я получаю:

 isTrans : (ModEq n x y) -> (ModEq n y z) -> (ModEq n x z)
isTrans (RInd _) (LInd _) = ?isTrans_rhs_1
 

И даже это не будет проверять тип, оно жалуется:

 40 | isTrans (RInd _) (LInd _) = ?isTrans_rhs_1
   | ~~~~~~~
When checking left hand side of isTrans:
When checking an application of Main.isTrans:
        Type mismatch between
                ModEq n (x   n) z (Type of LInd _)
        and
                ModEq n (y   n) z (Expected type)

        Specifically:
                Type mismatch between
                        plus x n
                and
                        plus y n
 

Проблема в том, что компилятор не может вывести в вашем последнем случае это y = {x n} . Однако вы можете дать ему этот намек:

 isTrans : (ModEq n x y) -> (ModEq n y z) -> (ModEq n x z)
isTrans (Reflex _) v = v
isTrans u (Reflex _) = u
isTrans (LInd u) v = LInd $ isTrans u v
isTrans u (RInd v) = RInd $ isTrans u v
isTrans (RInd u) (LInd v) {n} {x} {y = x   n} = ?isTrans_rhs
 

Что дает вам следующую цель для isTrans_rhs :

   x : Nat
  n : Nat
  u : ModEq n x x
  z : Nat
  v : ModEq n x z
--------------------------------------
isTrans_rhs : ModEq n x z
 

и, таким образом, вы можете заключить isTrans (RInd u) (LInd v) {n} {x} {y = x n} = v