Блог

Главная - Вопросы по программированию - Как получить векторное поле, которое отображает наклоны уравнения

Как получить векторное поле, которое отображает наклоны уравнения

#vector #field #derivative

#вектор #поле #производная

Вопрос:

Эй, итак, я читаю эту статью Криса Хекера, где у него есть изображение параболы, окруженной векторным полем ее производной:

векторное изображение

Однако он никогда не упоминает, как именно он получил уравнение векторного поля, и даже никогда не заявляет об этом. Он говорит, что наложил векторное поле наклонов на рисунке 1, нарисовав решение уравнения наклона, dy / dx = 2x, в виде короткого вектора в каждой координате на сетке.

Как создать векторное поле наклонов уравнения в синтаксисе векторного поля
V = xi yj

Ответ №1:

Заголовок рисунка был бы понятнее, если бы он гласил:

  • Кривая y = x^2 и векторное поле dy/dx = 2x для общего случая y = x^2 C

На графике выше работают три уравнения:

  1. y = x^2 — Уравнение для нарисованной параболы — это одна длинная сплошная кривая
  2. y = x^2 C -Уравнение для всех парабол, которые вписываются в векторное поле, C является константой. Это уравнение для всех парабол, которые вписываются в это векторное поле
  3. dy/dx = 2x Уравнение для поля наклона. — Это наклон или производная как нарисованной кривой, так и всех возможных кривых, которые могут быть нарисованы y = x^2 C для всех постоянных C s.

Обратите внимание, что C это константа, поскольку производная от y = x^2 C с любым C равна 2x . Итак, векторное поле показывает, как рисовать все разные параболы с разными C s.

Итак, есть два способа вычисления векторного поля:

  1. Выполните итерацию по желаемому диапазону значений x и y и вычислите наклон dy/dx — 2x y в данном случае независимо — в каждой точке. Вот как это сделал автор.
  2. Нарисуйте кучу парабол, медленно варьируя C в y = x^2 C желаемом диапазоне, скажем, x вычислений y .

Комментарии:

1. Да, именно так я могу это нарисовать, но какое уравнение представляет это поле? Как мне найти его математически?

2. @Griffin — Вот что это такое математически. Это так dy/dx = 2x . Интеграл от этого не v=xi yj является — общая форма такова y= x^2 C , что C является константой.

3. Хорошо, и dy / dx = 2x преобразуется в slope = 2x , что означает V = i 2xj или (Vx = 1, Vy = 2x)

4. он также сделал каждый вектор единичным вектором, который можно отобразить в графическом графе векторного поля с помощью уравнения (i 2xj) / sqrt(1 (2x) ^ 2)

5. или вы можете использовать этот замечательный графический редактор векторного поля, чтобы быстро просмотреть: kevinmehall.net/p/equationexplorer/vectorfield

Ответ №2:

Для дифференциального уравнения dy / dx = f (x, y) (например, dy / dx = 2x в данном случае, с f (x, y) = 2x) векторное поле (F) будет F = i f (x, y) j (так что в вашемслучай, F = i 2xj )