#delphi #math #pascal
#delphi #математика #pascal
Вопрос:
Кто-нибудь знает, где я мог бы найти код для «Функции обратной ошибки»? Freepascal / Delphi был бы предпочтительнее, но C / C тоже подошел бы.
В библиотеке TMath / DMath его не было : (
Комментарии:
1. вы имеете в виду обратную erf?
2. @soandosDavid Да, это то, о чем я говорю
3. Если вы можете найти код fortran, преобразуйте его в c с помощью f2c -a. Если вы можете найти c-код, отлично. Скомпилируйте c с помощью bcc32 и соедините с помощью $L вот как я всегда это делаю!
4. Это действительно отличная математика. Если вы найдете реализацию, я позабочусь о том, чтобы ее добавили в JEDI Math. В будущем это планируется для математической библиотеки JEDI, но, похоже, его там еще нет!
5. Возможно, полезная информация на сайте Wolfram Functions .
Ответ №1:
Вот реализация erfinv()
. Обратите внимание, что для ее эффективной работы вам также нужна хорошая реализация erf()
.
function erfinv(const y: Double): Double;
//rational approx coefficients
const
a: array [0..3] of Double = ( 0.886226899, -1.645349621, 0.914624893, -0.140543331);
b: array [0..3] of Double = (-2.118377725, 1.442710462, -0.329097515, 0.012229801);
c: array [0..3] of Double = (-1.970840454, -1.624906493, 3.429567803, 1.641345311);
d: array [0..1] of Double = ( 3.543889200, 1.637067800);
const
y0 = 0.7;
var
x, z: Double;
begin
if not InRange(y, -1.0, 1.0) then begin
raise EInvalidArgument.Create('erfinv(y) argument out of range');
end;
if abs(y)=1.0 then begin
x := -y*Ln(0.0);
end else if y<-y0 then begin
z := sqrt(-Ln((1.0 y)/2.0));
x := -(((c[3]*z c[2])*z c[1])*z c[0])/((d[1]*z d[0])*z 1.0);
end else begin
if y<y0 then begin
z := y*y;
x := y*(((a[3]*z a[2])*z a[1])*z a[0])/((((b[3]*z b[3])*z b[1])*z b[0])*z 1.0);
end else begin
z := sqrt(-Ln((1.0-y)/2.0));
x := (((c[3]*z c[2])*z c[1])*z c[0])/((d[1]*z d[0])*z 1.0);
end;
//polish x to full accuracy
x := x - (erf(x) - y) / (2.0/sqrt(pi) * exp(-x*x));
x := x - (erf(x) - y) / (2.0/sqrt(pi) * exp(-x*x));
end;
Result := x;
end;
Если у вас нет реализации erf()
, то вы можете попробовать эту, преобразованную в Pascal из числовых рецептов. Однако удвоенная точность не является точной.
function erfc(const x: Double): Double;
var
t,z,ans: Double;
begin
z := abs(x);
t := 1.0/(1.0 0.5*z);
ans := t*exp(-z*z-1.26551223 t*(1.00002368 t*(0.37409196 t*(0.09678418
t*(-0.18628806 t*(0.27886807 t*(-1.13520398 t*(1.48851587
t*(-0.82215223 t*0.17087277)))))))));
if x>=0.0 then begin
Result := ans;
end else begin
Result := 2.0-ans;
end;
end;
function erf(const x: Double): Double;
begin
Result := 1.0-erfc(x);
end;
Комментарии:
1. Отлично. Я думаю, что реализация в Pascal для ученых для erf лучше, чем erf здесь.
2. @Warren Нет, согласно моим тестам, это не так. Насколько я могу судить, это мусор для x, близкого к 0 (IIRC). Если бы я делал это, я бы перевел код из числовых рецептов и получил что-то точное с двойной точностью.
3. Упс — код fortran, на который я ссылался, требует точности не менее 18 цифр. Похоже, математической библиотеке Jedi требуется много работы.
4. @Mike Спасибо. Из интереса, у вас есть хороший
erf()
или вы используете тот, который я привел выше из NR? У вас есть копия NR? Если нет, вы должны его получить.5. Для знающих: меня бы заинтересовала процедура со свободной лицензией (BSD) кстати, пример кода NR имеет лицензию, которая запрещает распространение исходного кода. Не обязательно должно быть на Pascal.
Ответ №2:
В программах Pascal для ученых и инженеров есть гауссова функция ошибки (erf) и ее дополнение erfc =(1-errf), но не обратная функция ошибки. Очевидно, что вы не просто берете 1 / ErrF. Обратное означает, что x = erfinv(y) удовлетворяет y = erf (x).
http://infohost.nmt.edu /~armiller/pascal.htm
Функция ошибки и ее дополнение показаны в этом списке.
Опять же, определение функции дополнения к ошибке является 1-ErrF
, а не ErrF^-1
, но это должно подвести вас ближе:
http://infohost.nmt.edu /~es421/pascal/list11-3.pas
Я нашел эту интересную реализацию (язык неизвестен, я предполагаю, что это matlab). возможно, это и его коэффициенты могут вам помочь:
http://w3eos.whoi.edu/12.747/mfiles/lect07/erfinv.m
Другой PDF здесь:http://people.maths.ox.ac.uk /~gilesm/files/gems_erfinv.pdf
Соответствующий фрагмент:
Таблица 1: Псевдокод для вычисления y = erfinv(x), где p1 (t) ..p6 (t) представляют полиномиальную функцию с 1-го по 6-й из t :
a = |x|
if a > 0.9375 then
t = sqrt( log(a) )
y = p1(t) / p2(t)
else if a > 0.75 then
y = p3(a) / p4(a)
else
y = p5(a) / p6(a)
end if
if x < 0 then
y = −y
end if
По-видимому, библиотечный код функционирует путем аппроксимации, это требует меньше работы. Я читал, что иногда приближения выполняются с точностью менее 6 знаков после запятой.
Код Fortran, который многие люди используют в качестве справочного, находится здесь, в нем цитируется «Рациональные приближения Чебышева для функции ошибки» У. Дж. Коди, математик. Сост., 1969, СТР. 631-638.:
Комментарии:
1. erf и его дополнение поставляются с Free Pascal, блоком «spe», speerf и speefc. Их код Iirc основан на коде Algol из (немецкого) справочника по автоматике.
2. Можете ли вы опубликовать фрагмент? Это был бы хороший вклад.
3. Изначально я этого не делал, поскольку это не обратное. Но в любом случае, смотрите ниже
Ответ №3:
Математика довольно сложная, но есть приличное приближение, описанное здесь (предупреждение: PDF), которое включает код Maple. К сожалению, это включает в себя шаг «решить для x», который может сделать его бесполезным для вас.
Ответ №4:
Похоже, что Boost имеет это как error_inv, поэтому посмотрите на код.
Комментарии:
1. Отлично, спасибо. Возможно, будет немного неудобно экспортировать это в dll, но, думаю, я с этим разберусь.
2. Вы также могли бы взглянуть на расширение Python для SciPy, которое является чистым кодом на C. rexx.com /~dkuhlman/scipy_course_01.html
Ответ №5:
Я использовал это, которое, на мой взгляд, является достаточно точным и быстрым (обычно 2 итерации цикла), но, конечно, будьте осторожны. NormalX предполагает, что 0<=Q <=1, и, вероятно, даст глупые ответы, если это предположение не выполняется.
/* return P(N>X) for normal N */
double NormalQ( double x)
{ return 0.5*erfc( x/sqrt(2.0));
}
#define NORX_C0 2.8650422353e 00
#define NORX_C1 3.3271545598e 00
#define NORX_C2 2.7147548996e-01
#define NORX_D1 2.8716448975e 00
#define NORX_D2 1.1690926940e 00
#define NORX_D3 4.7994444496e-02
/* return X such that P(N>X) = Q for normal N */
double NormalX( double Q)
{
double eps = 1e-12;
int signum = Q < 0.5;
double QF = signum ? Q : (1.0-Q);
double T = sqrt( -2.0*log(QF));
double X = T - ((NORX_C2*T NORX_C1)*T NORX_C0)
/(((NORX_D3*T NORX_D2)*T NORX_D1)*T 1.0);
double SPI2 = sqrt( 2.0 * M_PI);
int i;
/* newton's method */
for( i=0; i<10; i)
{
double dX = (NormalQ(X) - QF)*exp(0.5*X*X)*SPI2;
X = dX;
if ( fabs( dX) < eps)
{ break;
}
}
return signum ? X : -X;
}
Комментарии:
1. Просто чтобы уточнить, ваш NormalX предназначен для вычисления того же, что и errfinv в различных битах математического программного обеспечения?
2. (упс) erfinv(y) = NormalX( 0.5*(1.0-y)) /sqrt(2.0);
3. Было бы лучше, если бы errfinv(), определенный как указано выше, был в примере кода.
Ответ №6:
function erf(const x: extended): extended;
var
n: integer;
z: extended;
begin
Result := x;
z := x;
n := 0;
repeat
inc(n);
z := -z * x * x * (2 * n - 1) / ((2 * n 1) * n);
Result := Result z;
until abs(z) < 1E-20;
Result := Result * 2 / sqrt(pi);
end;
function erfinv(const x: extended): extended;
var
n: integer;
z: extended;
begin
Result := 0;
n := 0;
repeat
inc(n);
z := (erf(Result) - x) * sqrt(pi) / (2 * exp(-Result * Result));
Result := Result - z;
until (n = 100) or (abs(z) < 1E-20);
if abs(z) < 1E-20 then
n := -20
else
n := Floor(Log10(abs(z))) 1;
Result := RoundTo(Result, n);
end;
Ответ №7:
Вот что я получил от spe. Мне кажется, что они пытались ускорить это, перетащив все функции в один большой полином. Имейте в виду, что это код из эпохи 386
// Extract from package Numlib in the Free Pascal sources (http://www.freepascal.org)
// LGPL-with-static-linking-exception, see original source for exact license.
// Note this is usually compiled in TP mode, not in Delphi mode.
Const highestElement = 20000000;
Type ArbFloat = double; // can be extended too.
ArbInt = Longint;
arfloat0 = array[0..highestelement] of ArbFloat;
function spesgn(x: ArbFloat): ArbInt;
begin
if x<0
then
spesgn:=-1
else
if x=0
then
spesgn:=0
else
spesgn:=1
end; {spesgn}
function spepol(x: ArbFloat; var a: ArbFloat; n: ArbInt): ArbFloat;
var pa : ^arfloat0;
i : ArbInt;
polx : ArbFloat;
begin
pa:=@a;
polx:=0;
for i:=n downto 0 do
polx:=polx*x pa^[i];
spepol:=polx
end {spepol};
function speerf(x : ArbFloat) : ArbFloat;
const
xup = 6.25;
sqrtpi = 1.7724538509055160;
c : array[1..18] of ArbFloat =
( 1.9449071068178803e0, 4.20186582324414e-2, -1.86866103976769e-2,
5.1281061839107e-3, -1.0683107461726e-3, 1.744737872522e-4,
-2.15642065714e-5, 1.7282657974e-6, -2.00479241e-8,
-1.64782105e-8, 2.0008475e-9, 2.57716e-11,
-3.06343e-11, 1.9158e-12, 3.703e-13,
-5.43e-14, -4.0e-15, 1.2e-15);
d : array[1..17] of ArbFloat =
( 1.4831105640848036e0, -3.010710733865950e-1, 6.89948306898316e-2,
-1.39162712647222e-2, 2.4207995224335e-3, -3.658639685849e-4,
4.86209844323e-5, -5.7492565580e-6, 6.113243578e-7,
-5.89910153e-8, 5.2070091e-9, -4.232976e-10,
3.18811e-11, -2.2361e-12, 1.467e-13,
-9.0e-15, 5.0e-16);
var t, s, s1, s2, x2: ArbFloat;
bovc, bovd, j: ArbInt;
begin
bovc:=sizeof(c) div sizeof(ArbFloat);
bovd:=sizeof(d) div sizeof(ArbFloat);
t:=abs(x);
if t <= 2
then
begin
x2:=sqr(x)-2;
s1:=d[bovd]; s2:=0; j:=bovd-1;
s:=x2*s1-s2 d[j];
while j > 1 do
begin
s2:=s1; s1:=s; j:=j-1;
s:=x2*s1-s2 d[j]
end;
speerf:=(s-s2)*x/2
end
else
if t < xup
then
begin
x2:=2-20/(t 3);
s1:=c[bovc]; s2:=0; j:=bovc-1;
s:=x2*s1-s2 c[j];
while j > 1 do
begin
s2:=s1; s1:=s; j:=j-1;
s:=x2*s1-s2 c[j]
end;
x2:=((s-s2)/(2*t))*exp(-sqr(x))/sqrtpi;
speerf:=(1-x2)*spesgn(x)
end
else
speerf:=spesgn(x)
end; {speerf}
function spemax(a, b: ArbFloat): ArbFloat;
begin
if a>b
then
spemax:=a
else
spemax:=b
end; {spemax}
function speefc(x : ArbFloat) : ArbFloat;
const
xlow = -6.25;
xhigh = 27.28;
c : array[0..22] of ArbFloat =
( 1.455897212750385e-1, -2.734219314954260e-1,
2.260080669166197e-1, -1.635718955239687e-1,
1.026043120322792e-1, -5.480232669380236e-2,
2.414322397093253e-2, -8.220621168415435e-3,
1.802962431316418e-3, -2.553523453642242e-5,
-1.524627476123466e-4, 4.789838226695987e-5,
3.584014089915968e-6, -6.182369348098529e-6,
7.478317101785790e-7, 6.575825478226343e-7,
-1.822565715362025e-7, -7.043998994397452e-8,
3.026547320064576e-8, 7.532536116142436e-9,
-4.066088879757269e-9, -5.718639670776992e-10,
3.328130055126039e-10);
var t, s : ArbFloat;
begin
if x <= xlow
then
speefc:=2
else
if x >= xhigh
then
speefc:=0
else
begin
t:=1-7.5/(abs(x) 3.75);
s:=exp(-x*x)*spepol(t, c[0], sizeof(c) div sizeof(ArbFloat) - 1);
if x < 0
then
speefc:=2-s
else
speefc:=s
end
end {speefc};